日々悩めるある大学生の記録

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【大学受験】偏差値がみるみる上がる勉強法 〜数学実践編〜

こんにちは、シイです!

 

今回は数学の勉強法について整数問題を題材として、具体的に書いてみたいと思います。

 

 

はじめに

「数学の成績が上がらない・・・」

「数学の偏差値さえあがればもっといい判定をとれたのに・・・」

「センター数学がとけない!」

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そんなことを思ったことのある方はいませんか?

かくいう私も文系であり高校時代数学には手こずらされました。

www.sii-mamabu.com

しかし上の記事の③の一貫した方法論で問題に取り組むことにより、随分数学に対してにがて意識がなくなったのです。

少し抽象的になってしまったので今回は具体的に書いてみます。

記事の最後には数学に対し効果抜群の勉強法も書いているので是非読んで見てください。

それでは、始めていきましょう!

 

整数問題の解法

 〜基本的にはこの3つのうちの解法のどれかで解ける!〜

 

前提:整数の特質を用いる&実験が有効

  1. 約数・倍数の関係
  2. 文字の有限な範囲を求める
  3. 余りで分類する

 

 

 

約数・倍数の関係

 式×式=定数(素因数分解)

 式×式=定数×式

 

(問題例)

 ⑴x2-4y2=4を満たす整数x、yの組を全て求めよ。

 ⑵x2+4y2=16を満たす負でない整数x、yの組を全て求めよ。

 

(解答)

x2-4y2=4より

(x+2y)(x-2y)=4

x+2y,x-2yが整数であることより上の式をみたす組み合わせは(x+2y)(x-2y)=(+1,+4)(+2,+2)(+4,+1)。実験をすると(+2,+2)の場合のみx,yは整数となる。よって、(x,y)=(+2,0)・・・(答)

 

x2+4y2=16より x2=4(4-y2)

まず、xが実数であることにより4-y20よって、y≧0を考えて0≦y≦2でなければならない。これを満たす整数yはy=0,1,2であり、このうち対応するxが負でないものを探して(x,y)=(4,0)または(0,2)・・・(答)

 

文字の有限な範囲を求める

 

条件:三文字以上かつ因数分解できない式,不等式が絡むとき

 point:変数を上から押さえる

 

 

(問題例)

整数x、y、zが1/xy+1/yz+1/zx=1,0<x≦y≦zを満たしている。

⑴x=1でなければならないことを示せ。

⑵x、y、zを求めよ。

<注>1/xyはxy分の1を示す。

 

 

(解答)

⑴1/xy+1/yz+1/zx=1

   0<x≦y≦zより1/x≧1/y≧1≧z>0であるから1=1/xy+1/yz+1/zx≦1/x2+1/x2+1/x2  x ≦3 なのでx=1でなければならない。

⑵x=1を元の式に代入すると

 1/y+1/yz+1/z=1  この式にxyzをかけて yz=y+z+1∴(y-1)(z-1)=2 0≦y-1≦z-1であるから y-1=1,z-1=2 よって(x,y,z)=(1,2,3)・・・(答)

 

 

余りで分類する

 

(問題例)

 整数の平方を5で割ると、余りは0か1か4のいずれかであることを示せ。

 

 

(解答)

  任意の整数は、nをある整数として5n,5n+1,5n+2のいずれかの形で表される。これらの平方はそれぞれ(5n)2  =5 ×5n2  (5n+1)=5(5n+2n)+1 (5n+2)=5(5n2 +4n)+4となるから整数の平方を5で割ると、余りは0か1か4のいずれかである。

 

数学における効果抜群の勉強法

冒頭で宣言した通り、数学に対し効果抜群の勉強法について最後に紹介したいと思います。たった一言で言うならば「手を動かす」ことです。

「それだけかよっ!」って突っ込まれそうで怖いのですが(笑)最初はわからなくて解答を写すだけでもいいのです。解答を読んでいてもわからない箇所があると言うのはよくあることでしょう。

それでもただひたすらに解答を写すのです。その結果自分がわからないところが把握できたり、再現性が身に付くと思います。

 

まとめ

いかがだったでしょうか?上でやって見せたように、この分野にはこのうちのどれかの解法で挑む!という方法論を定められたのなら(欲をいえばパターンまで認識できたのなら)数学の点数は飛躍的に向上していくはずです。ぜひ試してみてくださいね!

 

読んでいただきありがとうございました。みなさんの数学へのにがて意識が少しでも薄れたとしたら幸いです。

それでは、また!